Het Stemmen van een muziekinstrument, en met name een piano, is een lastig karwei. Het vereist een goed gehoor, geduld, concentratievermogen en de nodige kennis en ervaring. Want wanneer is een piano nu zuiver. En wanneer is hij vals. Een enkele toon kan niet vals klinken van nature. Een toon is een toon. Hij kan alleen hoger of lager klinken. Vals klinkt iets pas, als een toon in samenklank met een andere toon, of tonen, ons niet prettig in de oren klinken. Het is de verdeling van de tonen binnen een octaaf, waar het om draait. Of zelfs om de verdeling van alle tonen (toetsen) van de piano.Hier doen zich meteen al grote, eigenlijk nooit echt opgeloste problemen voor. Immers; elke toon heeft een grondtoon van een bepaalde frequentie. Als we deze grondtoon met 2 vermenigvuldigen, vinden we de eerste harmonische, zijnde een toon van 1 octaaf hoger. Een zuivere kwint vinden we door de frequentie niet met 2, maar met 1,5 te vermenigvuldigen. Op een piano bevinden zich 7 octaven. Binnen die zeven octaven vinden we 12 kwinten. Nu stuiten we gelijk op een probleem.
Als we alle 7 octaven zuiver stemmen, dan is de hoogste noot dus 2 tot de 7de macht = 128 x de grondtoon. Als we alle 12 kwinten zuiver stemmen, dan is die zelfde hoogste noot (1,5) tot de 12de macht = 129,746.…!!maal de grondtoon. Dit verschil staat bekend als “de komma van Pythagoras” . Een onoplosbaar probleem. Stemt men de octaven zuiver, dan zijn de kwinten vals. Stemt men de kwinten rein, dan komt men niet uit met de octaven. Zo doorredenerend, is er ook een verschil tussen een Bes en een Ais. Maar op de piano niet! Hier betreft het dezelfde toets.

Het was Andreas Werckmeister die hier in het midden van de 17de eeuw een oplossing voor bedacht. Hij verdeelde een octaaf in 12 gelijke stappen van een halve toon. De frequentie van de volgende halve toon, wordt dan gevonden door de voorgaande toon te vermenigvuldigen met de 12 machtswortel uit 2. Wat gelijk is aan een factor 1.05946309. Immers, (1,05946309)12 = 2. Dus, na 12 gelijke stappen, komen we uit op het dubbele van de oorspronkelijke frequentie, en zij we dus een octaaf hoger. Het octaaf is dan verdeeld in 12 (logaritmisch) gelijke delen.
dus:

Waarbij f” de frequentie is van de oorspronkelijke noot, En f’ de opvolgende halve noot.

Door gebruik te maken van deze verdeling, die beter bekend staat als de” gelijkzwevende temperatuur”, zijn eigenlijk alle intervallen onzuiver, behalve het octaaf. Het biedt echter wel de mogelijkheid in alle toonsoorten op hetzelfde instrument te spelen.

Het inspireerde Bach tot het componeren van zijn Wohltemperiertes Klavier.

 

Maar hiermee zijn we er nog lang niet. Een volgend probleem van grote omvang doet zich voor. Namelijk die van de inharmoniciteit.

In bovenstaande gingen we er vanuit dat de boventonen van een bepaalde noot, gevonden konden worden door de grondtoon te vermenigvuldigen met een hele veelvoud. Dus met 1,2,3,4, enz. Zo vonden we het octaaf door te vermenigvuldigen met 2, de kwint door te vermenigvuldigen met 3, het dubbeloctaaf met 4, de terts met 5, enz. Helaas is dit bij een pianosnaar niet het geval.

Door zijn dikte heeft de snaar een bepaalde stijfheid. Dit is de verhouding van zijn doorsnee tot zijn lengte. Hoe dikker de snaar is ten opzichte van zijn lengte, des te stijver hij is. En ook hoe inharmonischer hij is. De boventonen zijn geen hele veelvouden meer van de grondtoon, maar klinken wat hoger. Bij een kerkklok is de eerste boventoon vaak 4 tot 8 maal de grondtoon. Daarom klinken carillons altijd onzuiver.

Hoe hoog en hoeveel precies werd voor het eerst beschreven door O.H. Schuck en R.W. Young (1943) en ook door H. Fletcher (USA).

 

Met onderstaande formule zijn we instaat de boventonen bij benadering te berekenen:

waarin:

waarin dan weer:

...

Hieruit kunnen we concluderen dat de mate van inharmoniciteit kwadratisch toeneemt met de doorsnee van de snaar.

De inharmoniciteit kwadratisch afneemt met de lengte van de snaar.

Des te hoger het volgnummer van de boventoon, des te meer inharmoniciteit.

Nog belangrijker is, dat de mate van inharmoniciteit, een functie is van de frequentie van zijn grondtoon. Hieruit blijkt, dat een snaar een heel ander spectrum (set van boventonen) heeft, als hij hoger of lager gestemd wordt. En daardoor dus anders klinkt. Violisten menen vaak over een absoluut gehoor te beschikken, terwijl zij slechts een goed geheugen hebben voor de klank van hun viool, bij de juiste toonhoogte. ( zie ook Prof. Dr. G.W. Raes  2004)

Bij metingen in de praktijk (o.a. Dr. P. Earle, L. Kent, Elkhart/Indiana,USA) blijkt de mate van inharmoniciteit sterk te verschillen van de berekende inharmoniciteit via de formule. Dit komt o.a. doordat de formule geen rekening houdt met feedback van de kam en zangbodem, omwikkelde snaren die niet homogeen van samenstelling zijn, Dwarstorsie van de snaar etc.

In het middengebied van een lage (110)  piano komen wij op afwijkingen door inharmoniciteit van 4 cent van de eerste boventoon, tot wel 16 cent van de 4de  boventoon.(cent is het 100ste  deel van een halve toon) Een veel grotere afwijking van het theoretische model, dan die van de gelijkzwevende temperatuur, waarin een kwint slechts 2 cent afwijkt. Voordeel van deze inharmoniciteit is, dat we elk instrument in een orkest kunnen herkennen en a.h.w. apart beluisteren. Doordat ieder instrument zijn eigen spectrum (set van boventonen) heeft, blijft het herkenbaar en wordt het geen brij van geluid. (zoals bij niet-gesampelde keyboards)

Belangrijk is, dat de stemmer bekend is met dit fenomeen, en de octaven dus hoger stemt dan in het theoretische model.Het geen weer de reinheid van de kwinten ten goede komt. Ook is het belangrijk te weten, dat een lage piano veel inharmonischer is als een hoge. I.v.m. de lengte van de snaren ( zie formule). Door die verschillen in bouw van de piano, verschillen in lengte en dikte van de snaren, hun positie tenopzichte van de zangbodem etc. heeft iedere piano per snaar een andere inharmoniciteit. Waardoor elke piano een andere optimale stemming heeft. M. a. w., We stemmen elke piano anders!!.

Vanwege deze constatering ben ik geen voorstander van het stemmen met een elektronisch apparaat. Deze apparaten houden wel rekening met een gemiddelde inharmoniciteit, maar dat is onvoldoende en inaccuraat, omdat de inharmoniciteit per snaar verschilt. Een eenvoudig stemapparaatje voor gitaren e.d. is helemaal uit den boze. ( gitaren hebben nauwelijks inharmoniciteit).

Menselijk gehoor en vakmanschap blijken onvervangbaar.

Als men dan ook nog bedenkt, dat in een piano elke toets meerdere snaren heeft, die precies gelijk gestemd moeten worden(als dat al mogelijk is),en een toon hoger klinkt in het gehoor, naarmate het volume toeneemt, dan heeft men enig idee wat een klus het is om een piano te stemmen.

 

( Bram Maat 2008, dit artikel is auteursrechtelijk beschermd en mag alleen gebruikt of geciteerd worden met toestemming van de auteur)